状态空间方程离散化的MATLAB处理

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之前已经简单了解过状态空间方程的离散化方法，对于二阶等效电路模型来讲，由于其本身各个方程之间不是耦合的，所以离散化计算过程并不是十分复杂，很容易就可以得到其状态空间方程的离散形式。

但是对于某些状态空间方程，比如圆柱电池的二状态热模型，由于方程本身是耦合的，所以无法直接通过公式推导就得到其离散化形式，这时就需要求助于matlab。

对于这样一个连续方程：
$$ \dfrac{dx}{dt}=Ax+Bu $$
通过[G,H]=c2d(F,G,ts);，便可以将其转化为离散形式，其中时间步长为ts：
$$ x_{k+1}=Gx_{k}+Hu_{k} $$
G和H为A、B指定时间步长的离散化结果。

c2d函数过程实际上为之前“电池模型的状态空间方程”一文中介绍的状态空间方程的直接离散化方法，其具体的使用介绍参考Mathworks文档。具体格式如下：

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sysd = c2d(sys,Ts)
sysd = c2d(sys,Ts,method)
sysd = c2d(sys,Ts,opts)
[sysd,G] = c2d(sys,Ts,method)
[sysd,G] = c2d(sys,Ts,opts)

其中method缺省值是零阶保持器。除了零阶保持器，还有一阶保持器、Tustin等等方法可以选择。但是对于Tustin尚存在一些疑问，因为这种近似方法涉及$x_{k+1}$的值。是不是如果我们并不关注状态值本身的话，只关心输出值，可以将状态方程和输出方程一起使用Tustin这种method离散化。而如果我们关注的是状态值$x_{k+1}$本身，而不是输出值$y_{k}$的话，那就只能使用零阶保持器。（疑问）

举个例子

$$ x’=\begin{bmatrix}
2 & -1 & -1 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 2 & 1
\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}
7 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}u$$
$$ y=\begin{bmatrix} 1&2&4\end{bmatrix}x $$
将该连续方程离散化：

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>> A=[2 -1 -1; 0 -1 0;0 2 1];
>> B=[7 2 3]';
>> C=[1 2 4];
>> D=0;
>> [G1,H1,Cd1,Dd1]=c2dm(A,B,C,D,0.1,'zoh')

G1 =

    1.2214   -0.1162   -0.1162
         0    0.9048         0
         0    0.2003    1.1052


H1 =

    0.7473
    0.1903
    0.3355


Cd1 =

     1     2     4


Dd1 =

     0

>> [G2,H2,Cd2,Dd2]=c2dm(A,B,C,D,0.1,'tustin')

G2 =

    1.2222   -0.1170   -0.1170
         0    0.9048         0
         0    0.2005    1.1053


H2 =

    0.7485
    0.1905
    0.3358


Cd2 =

    1.1111    2.2473    4.1520


Dd2 =

    1.2364

>> [G,H]=c2d(A,B,0.1)

G =

    1.2214   -0.1162   -0.1162
         0    0.9048         0
         0    0.2003    1.1052


H =

    0.7473
    0.1903
    0.3355

>>

当然离散系统与其对应的连续系统是存在误差的，时间步长ts越大，误差越大。如果时间步长取得过长，则需要检验一下离散化误差是否再接受范围内。

更多关于离散设计的内容。以后慢慢看。